Gamma Function
계승 (factorial) 함수는 오로지
자연수만을 정의역으로 하는 함수 이다.
( − 0.5 ) ! (-0.5)! ( − 0.5 )! 이나
2 ! \sqrt{2}! 2 ! 따위는 정의되지 않는다. 다만, 이해를 돕기 위해 편의상 팩토리얼을 써서 표기하는 경우는 많이 있다.
그 이후 수학자들이 계승 함수의
정의역 을
복소수 범위로 확장한 걸 감마 함수라고 부른다. 후술하겠지만 감마 함수도
0 0 0 이하의 정수에서는 정의되지 않는다.
불완전 감마 함수 에서
b = 0 b=0 b = 0 인 경우에 해당한다.
감마 함수와 같이 특수 함수로 묶이는 함수들은 정의가 접근 방향에 따라 여러 가지인데, 역시 제일 중요한 발원적 정의는 '계승 함수의 성질을 그대로 가지면서
0 0 0 보다 큰 영역에서 그래프가 아래로 볼록한 꼴인 함수'이다. 만족하는 함수꼴은 다음과 같다.
Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ x z − 1 e − x d x \displaystyle \Gamma(z)=\int_0^\infty x^{z-1}e^{-x}\mathrm{d}x Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ x z − 1 e − x d x 오일러 무한곱꼴
Γ ( z ) = 1 z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + 1 n ) z 1 + z n \displaystyle \Gamma(z)=\frac 1z \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\dfrac 1n \right)^z}{1+\dfrac zn} Γ ( z ) = z 1 n = 1 ∏ ∞ 1 + n z ( 1 + n 1 ) z 단순항꼴
Γ ( z ) = lim n → ∞ n ! ⋅ n z ∏ i = 0 n ( z + i ) \displaystyle \Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n!\cdot n^z}{\displaystyle \prod_{i=0}^n (z+i)} Γ ( z ) = n → ∞ lim i = 0 ∏ n ( z + i ) n ! ⋅ n z 바이어슈트라스꼴
Γ ( z ) = 1 z e − γ z ∏ n = 1 ∞ e z n 1 + z n \displaystyle \Gamma(z)=\frac 1z e^{-\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\frac{e^{\frac zn}}{1+\dfrac zn} Γ ( z ) = z 1 e − γ z n = 1 ∏ ∞ 1 + n z e n z
그렇게 안 보이지만 저 넷은 서로가 서로를 유도할 수 있는 동치 관계다.
∏ \displaystyle \prod ∏ 는 계속 곱해나가라는 뜻이고,
γ \gamma γ 는 값이
0.577216... 0.577216... 0.577216... 인
오일러-마스케로니 상수 다.
오늘날에는
적분 꼴의 정의식이 가장 널리 알려져있지만, 역사적으로는 오일러 무한곱 꼴이 먼저 발견되었다.
정의역이
0 0 0 이상의 정수로 한정되어있던
팩토리얼 을 실수로 확장하고자 하는 논의가
1720년대 에
다니엘 베르누이 와
크리스티안 골드바흐 를 중심으로 이루어졌는데, 십년도 채 되지 않아 이 문제는
오일러 에 의해 해결되었고,
1729년 10월 13일 오일러가 골드바흐에게 보낸 편지에 그 기록이 남아있다. 실제로 오일러 무한곱 꼴은 적분과는 무관하게
극한 에 대한
고등학교 수준의 지식만 있으면 쉽게 유도할 수 있다.
먼저
( k + 1 ) n ∏ i = 1 n ( k + i ) \dfrac{\left(k+1\right)^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^n (k+i)} i = 1 ∏ n ( k + i ) ( k + 1 ) n 에 대해
k → ∞ k\to\infty k → ∞ 일 때의 극한값을 구해보자. 해당 식은 다음과 같이 변형할 수 있으며
( k + 1 ) n ∏ i = 1 n ( k + i ) = ( k + 1 ) n ∏ i = 1 n { k ( 1 + i k ) } = ( k + 1 ) n k n ∏ i = 1 n ( 1 + i k ) = ( 1 + 1 k ) n ∏ i = 1 n ( 1 + i k ) \dfrac{\left(k+1\right)^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^n (k+i)}=\dfrac{\left(k+1\right)^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^n \left\{k\left(1+\frac ik \right)\right\}}=\dfrac{\left(k+1\right)^n}{\displaystyle k^n \prod_{i=1}^n \left(1+\frac ik \right)}=\dfrac{\left(1+\dfrac 1k \right)^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^n \left(1+\frac ik \right)} i = 1 ∏ n ( k + i ) ( k + 1 ) n = i = 1 ∏ n { k ( 1 + k i ) } ( k + 1 ) n = k n i = 1 ∏ n ( 1 + k i ) ( k + 1 ) n = i = 1 ∏ n ( 1 + k i ) ( 1 + k 1 ) n
k → ∞ k \to \infty k → ∞ 일 때 분자 분모가 각각
1 1 1 로 수렴하므로 위 식은
1 1 1 에 수렴함을 알 수 있다. 따라서 다음 식이 성립한다.
lim k → ∞ n ! ( k + 1 ) n ∏ i = 1 n ( k + i ) = n ! \displaystyle \lim_{k\to\infty}\frac{n!\left(k+1\right)^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^n (k+i)}=n! k → ∞ lim i = 1 ∏ n ( k + i ) n ! ( k + 1 ) n = n !
여기서
∏ i = 1 n ( k + i ) = ( k + n ) ! k ! \displaystyle \prod_{i=1}^n (k+i)=\frac{(k+n)!}{k!} i = 1 ∏ n ( k + i ) = k ! ( k + n )! 이므로 위 식은 팩토리얼과 지수함수만으로 정리할 수 있다.
lim k → ∞ k ! n ! ( k + 1 ) n ( k + n ) ! = lim k → ∞ k ! ( k + 1 ) n ( k + n ) ! n ! = n ! \displaystyle \lim_{k\to\infty}\frac{k!\,n!\left(k+1\right)^n}{(k+n)!}=\lim_{k\to\infty}\frac{k!\left(k+1\right)^n}{\dfrac{(k+n)!}{n!}}=n! k → ∞ lim ( k + n )! k ! n ! ( k + 1 ) n = k → ∞ lim n ! ( k + n )! k ! ( k + 1 ) n = n !
그런데
( k + n ) ! n ! = ∏ i = 1 k ( i + n ) = ∏ i = 1 k { i ( 1 + n i ) } = k ! ∏ i = 1 k ( 1 + n i ) \displaystyle \frac{(k+n)!}{n!}=\prod_{i=1}^k (i+n)=\prod_{i=1}^k \left\{ i \left(1+\frac ni \right)\right\} = k! \prod_{i=1}^k \left(1+\frac ni \right) n ! ( k + n )! = i = 1 ∏ k ( i + n ) = i = 1 ∏ k { i ( 1 + i n ) } = k ! i = 1 ∏ k ( 1 + i n ) ,
k + 1 = ∏ i = 1 k i + 1 i = ∏ i = 1 k ( 1 + 1 i ) \displaystyle k+1 = \prod_{i=1}^k \frac{i+1}i = \prod_{i=1}^k \left(1+\frac 1i\right) k + 1 = i = 1 ∏ k i i + 1 = i = 1 ∏ k ( 1 + i 1 ) 이므로
n ! = lim k → ∞ k ! ( k + 1 ) n ( k + n ) ! n ! = lim k → ∞ k ! ∏ i = 1 k ( 1 + 1 i ) n k ! ∏ i = 1 k ( 1 + n i ) = lim k → ∞ ∏ i = 1 k ( 1 + 1 i ) n 1 + n i = ∏ k = 1 ∞ ( 1 + 1 k ) n 1 + n k \displaystyle n!=\lim_{k\to\infty}\frac{k!\left(k+1\right)^n}{\dfrac{(k+n)!}{n!}} = \lim_{k \to \infty} \frac{\displaystyle \cancel{k!} \prod_{i=1}^k \left( 1+\frac 1i \right)^n}{\displaystyle \cancel{k!} \prod_{i=1}^k \left(1+\frac ni \right)} = \lim_{k \to \infty} \prod_{i=1}^k \frac{\left(1+\dfrac 1i \right)^n}{1+\dfrac ni} = \prod_{k=1}^\infty \frac{\left(1+\dfrac 1k \right)^n}{1+\dfrac nk} n ! = k → ∞ lim n ! ( k + n )! k ! ( k + 1 ) n = k → ∞ lim k ! i = 1 ∏ k ( 1 + i n ) k ! i = 1 ∏ k ( 1 + i 1 ) n = k → ∞ lim i = 1 ∏ k 1 + i n ( 1 + i 1 ) n = k = 1 ∏ ∞ 1 + k n ( 1 + k 1 ) n
가 되며 위 식에서 양변을
n n n 으로 나눈 형태가 바로 오일러 무한곱꼴이다.
이후 반년도 채 되지 않은 1730년 1월 8일에 오일러는 골드바흐에게 다시 편지를 보내 다음과 같은 관계가 성립한다는 것을 보였다. 이것이 적분꼴로 정의된 팩토리얼의 최초 형태이며 부분적분을 이용하면 우변으로부터 좌변을 쉽게 유도할 수 있다.
n ! = ∫ 0 1 ( − ln t ) n d t \displaystyle n!=\int_0^1 \left(-\ln t\right)^n \mathrm{d}t n ! = ∫ 0 1 ( − ln t ) n d t
− ln t = x -\ln t=x − ln t = x 로 치환하면
t = e − x t=e^{-x} t = e − x ,
d t = − e − x d x \mathrm{d}t=-e^{-x}\mathrm{d}x d t = − e − x d x ,
{ t → 0 ⇒ x → ∞ t → 1 ⇒ x → 0 \begin{cases} t \to 0 \Rightarrow x \to \infty \\ t \to 1 \Rightarrow x \to 0 \end{cases} { t → 0 ⇒ x → ∞ t → 1 ⇒ x → 0 이므로
n ! = ∫ 0 1 ( − ln t ) n d t = − ∫ ∞ 0 x n e − x d x = ∫ 0 ∞ x n e − x d x ∴ Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! = ∫ 0 ∞ x n − 1 e − x d x \displaystyle n!=\int_0^1 \left(-\ln t\right)^n \mathrm{d}t = -\int_\infty^0 x^n e^{-x}\mathrm{d}x = \int_0^\infty x^n e^{-x}\mathrm{d}x \\ \therefore \Gamma(n)=(n-1)! = \int_0^\infty x^{n-1} e^{-x}\mathrm{d}x n ! = ∫ 0 1 ( − ln t ) n d t = − ∫ ∞ 0 x n e − x d x = ∫ 0 ∞ x n e − x d x ∴ Γ ( n ) = ( n − 1 )! = ∫ 0 ∞ x n − 1 e − x d x
19세기에 들어서,
가우스 는 오일러 무한곱꼴을 다음과 같이 고쳐썼다.
( n − 1 ) ! = lim k → ∞ k ! k n ∏ i = 0 k ( n + i ) \displaystyle (n-1)! = \lim_{k \to \infty} \frac{k!\,k^n}{\displaystyle \prod_{i=0}^k (n+i)} ( n − 1 )! = k → ∞ lim i = 0 ∏ k ( n + i ) k ! k n
∏ i = 0 k ( n + i ) = ( n + k ) ! ( n − 1 ) ! \displaystyle \prod_{i=0}^k (n+i)=\frac{(n+k)!}{(n-1)!} i = 0 ∏ k ( n + i ) = ( n − 1 )! ( n + k )! 이므로 위 식은
( n − 1 ) ! = lim k → ∞ k ! ( n − 1 ) ! k n ( n + k ) ! \displaystyle (n-1)! = \lim_{k \to \infty} \frac{k! \left(n-1\right)!\,k^n}{(n+k)!} ( n − 1 )! = k → ∞ lim ( n + k )! k ! ( n − 1 ) ! k n
로 변형할 수 있는데 이는 오일러 무한곱꼴 유도할 때 처음에 썼던 극한값
lim k → ∞ ( k + 1 ) n ∏ i = 1 n ( k + i ) = lim k → ∞ ( k + 1 ) n ( k + n ) ! k ! = lim k → ∞ k ! ( k + 1 ) n ( k + n ) ! \displaystyle \lim_{k\to\infty}\frac{\left(k+1\right)^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^n (k+i)}=\lim_{k\to\infty}\frac{\left(k+1\right)^n}{\dfrac{(k+n)!}{k!}}=\lim_{k\to\infty}\frac{k!\left(k+1\right)^n}{(k+n)!} k → ∞ lim i = 1 ∏ n ( k + i ) ( k + 1 ) n = k → ∞ lim k ! ( k + n )! ( k + 1 ) n = k → ∞ lim ( k + n )! k ! ( k + 1 ) n
에서 분자의
( k + 1 ) n \left(k+1\right)^n ( k + 1 ) n 을
k n k^n k n 으로 바꿔도 위 값이 여전히
1 1 1 에 수렴함을 의미
하며, 오일러 무한곱꼴을 좀 더 간단하게 나타낸 형태라고 볼 수 있다.
바이어슈트라스 는 복소수로 확장된 단순항꼴에서
오일러-마스케로니 상수 를 묶어내어 또다른 무한곱꼴을 유도했는데, 사실 그는 양이 아닌 정수에서 극을 갖는 감마 함수를 꺼려하여 감마 함수의 역수
1 Γ ( z ) \dfrac 1{\Gamma(z)} Γ ( z ) 1 에 대한 무한곱꼴을 유도했던 것으로 알려져 있다. 물론 굳이 역수를 취하지 않아도 도출해 낼 수 있으며, 이 아이디어에 착안하여 그는
바이어슈트라스 곱 정리 를 증명하는 데에 이른다.
Γ ( z ) = lim n → ∞ n ! n z ∏ i = 0 n ( z + i ) = lim n → ∞ 1 z n ! n z ∏ i = 1 n ( z + i ) = lim n → ∞ 1 z n ! e ln n z ∏ i = 1 n { i ( 1 + z i ) } = lim n → ∞ 1 z n ! e z ln n n ! ∏ i = 1 n ( 1 + z i ) = lim n → ∞ 1 z e z ln n ∏ i = 1 n ( 1 + z i ) = lim n → ∞ 1 z e z ln n ∏ i = 1 n e z i ∏ i = 1 n e z i ∏ i = 1 n ( 1 + z i ) = lim n → ∞ 1 z e z ln n e z ∑ i = 1 n 1 i ∏ i = 1 n e z i ∏ i = 1 n ( 1 + z i ) = lim n → ∞ 1 z e z ( ln n − ∑ i = 1 n 1 i ) ∏ i = 1 n e z i 1 + z i = 1 z e − γ z ∏ n = 1 ∞ e z n 1 + z n \begin{aligned} \displaystyle \Gamma(z)&=\lim_{n\to\infty}\frac{n!\,n^z}{\displaystyle \prod_{i=0}^n (z+i)}=\lim_{n\to\infty}\frac 1z \frac{n!\,n^z}{\displaystyle \prod_{i=1}^n (z+i)} = \lim_{n \to \infty} \frac 1z \frac{n!\,e^{\ln n^z}}{\displaystyle \prod_{i=1}^n \left\{ i \left(1+\dfrac zi \right) \right\}} = \lim_{n \to \infty} \frac 1z \frac{\cancel{n!}\,e^{z \ln n}}{\displaystyle \cancel{n!} \prod_{i=1}^n \left(1+\dfrac zi \right)} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac 1z \frac{e^{z \ln n}}{\displaystyle \prod_{i=1}^n \left(1+\dfrac zi \right)}=\lim_{n\to\infty}\frac 1z \frac{e^{z\ln n}}{{\displaystyle \prod\limits_{i=1}^n e^{\frac zi}}}\frac{{\displaystyle \prod\limits_{i=1}^n e^{\frac zi}}}{{\displaystyle \prod_{i=1}^n \left(1+\dfrac zi \right)}}=\lim_{n \to \infty} \frac 1z \frac{e^{z \ln n}}{e^{z \sum\limits_{i=1}^n \frac 1i}} \frac{\displaystyle \prod_{i=1}^n e^{\frac zi}}{\displaystyle \prod_{i=1}^n \left(1+\dfrac zi \right)} = \lim_{n \to \infty} \frac 1z e^{z \left( \ln n - \sum\limits_{i=1}^n \frac 1i \right)} \prod_{i=1}^n \frac{e^{\frac zi}}{1+\dfrac zi} \\ &= \frac 1z e^{-\gamma z} \prod_{n=1}^\infty \frac{e^{\frac zn}}{1+\dfrac zn}\end{aligned} Γ ( z ) = n → ∞ lim i = 0 ∏ n ( z + i ) n ! n z = n → ∞ lim z 1 i = 1 ∏ n ( z + i ) n ! n z = n → ∞ lim z 1 i = 1 ∏ n { i ( 1 + i z ) } n ! e l n n z = n → ∞ lim z 1 n ! i = 1 ∏ n ( 1 + i z ) n ! e z l n n = n → ∞ lim z 1 i = 1 ∏ n ( 1 + i z ) e z l n n = n → ∞ lim z 1 i = 1 ∏ n e i z e z l n n i = 1 ∏ n ( 1 + i z ) i = 1 ∏ n e i z = n → ∞ lim z 1 e z i = 1 ∑ n i 1 e z l n n i = 1 ∏ n ( 1 + i z ) i = 1 ∏ n e i z = n → ∞ lim z 1 e z ( l n n − i = 1 ∑ n i 1 ) i = 1 ∏ n 1 + i z e i z = z 1 e − γ z n = 1 ∏ ∞ 1 + n z e n z
감마 함수는
팩토리얼 의
상위호환 격 함수이기 때문에, 팩토리얼의 성질을 모두 가지고 있다.
Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! \Gamma(n)=(n-1)! Γ ( n ) = ( n − 1 )! (
n n n 이 자연수일 경우)
Γ ( n + 1 ) = n Γ ( n ) \Gamma(n+1)=n\Gamma(n) Γ ( n + 1 ) = n Γ ( n ) Γ ( 1 ) = 1 \Gamma(1)=1 Γ ( 1 ) = 1 다만
0 0 0 과
1 1 1 사이의 계산에는 감마 함수의 정의에 있는 적분을 계산해야 하며, 음수로 가면 더욱 골치 아파진다.
아래 그래프에도 나와 있겠지만 양이 아닌 정수에서는 감마 함수가 정의되지 않는데, 이는
( − 1 ) ! × 0 = 0 ! (-1)!\times 0=0! ( − 1 )! × 0 = 0 ! 을 만족하는
( − 1 ) ! (-1)! ( − 1 )! 의 값이 존재하지 않기 때문이다. 좌변은
0 0 0 , 우변은
1 1 1 이므로 얄짤없이 모순이다.
( − 1 ) ! (-1)! ( − 1 )! 이 없으므로, 당연히 그보다 작은 정수의 계승 또한 존재하지 않는다.
[ − 5 , 5 ] [-5,\,5] [ − 5 , 5 ] 범위의 감마 함수 그래프
예를 들어,
Γ ( 1 + 3 ) = 3 ! = 3 × 2 × 1 = 6 \Gamma(1+3)=3!=3\times 2\times 1=6 Γ ( 1 + 3 ) = 3 ! = 3 × 2 × 1 = 6 ,
Γ ( 1 + 5 ) = 5 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 \Gamma(1+5)=5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120 Γ ( 1 + 5 ) = 5 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 으로 양의 정수를 넣었을 때는 모두 양의 정수이지만, 소수인
1.5 1.5 1.5 를 넣으면
Γ ( 1 + 1.5 ) = 1.5 ! = 3 4 Γ ( 1 2 ) = 3 4 π ≈ 1.32934 \Gamma(1+1.5)=1.5!=\dfrac 34 \Gamma\left(\dfrac 12 \right)=\dfrac 34 \sqrt\pi\approx 1.32934 Γ ( 1 + 1.5 ) = 1.5 ! = 4 3 Γ ( 2 1 ) = 4 3 π ≈ 1.32934 인
무리수 가 된다.
i ! = Γ ( 1 + i ) ≈ 0.4980 − 0.1549 i i!=\Gamma(1+i)\approx 0.4980-0.1549i i ! = Γ ( 1 + i ) ≈ 0.4980 − 0.1549 i 복소수에 대한 감마 함수는 이렇게 정의된다.
오일러의 공식 에서 유도할 수 있다.
정규분포 나
제타 함수 와도 관련이 있다. 변수를 치환하거나 특정 연산을 취하면 결과로 튀어나온다.
정수가 아닌
z z z 에 대하여,
Γ ( z ) Γ ( 1 − z ) = π sin ( z π ) \Gamma(z)\Gamma(1-z)=\dfrac{\pi}{\sin\,(z\pi)} Γ ( z ) Γ ( 1 − z ) = sin ( z π ) π z = 1 2 z=\dfrac 12 z = 2 1 을 기준으로
반사 시켜서 나오게 된 이름이다. 복소적분을 이용해서 유도할 수 있다.
복소해석을 사용하지 않는 증명
Γ ( 2 z ) = 2 2 z − 1 π Γ ( z ) Γ ( z + 1 2 ) \Gamma(2z)=\dfrac{2^{2z-1}}{\sqrt\pi}\Gamma(z)\Gamma\biggl(z+\dfrac 12 \biggr) Γ ( 2 z ) = π 2 2 z − 1 Γ ( z ) Γ ( z + 2 1 ) 말 그대로 2배 공식이다. 마치 삼각함수의 배각 공식과 비슷한 맥락이라 생각하면 된다.
감마 함수 자체는 기본적인 초등함수로 나타낼 수 없지만, 만일 z의 값이 커질 경우 다음과 같은 형태로 근사시킬 수 있다.
Γ ( z + 1 ) ∼ 2 π z ( z e ) z \Gamma(z+1)\sim\sqrt{2\pi z}\left(\dfrac ze\right)^z Γ ( z + 1 ) ∼ 2 π z ( e z ) z z z z 가 한없이 커질수록 점점 원래 함수에 가깝게 된다. 점근 급수(Asymptotic series)에 대해 참조해 볼 것.
위 식을 잘 이용하면
ln N ! = N ln N − N + O ( ln N ) \ln N!=N\ln N-N+O(\ln N) ln N ! = N ln N − N + O ( ln N ) 임을 인도의 수학자
스리니바사 라마누잔 이 증명해냈다.
ln Γ ( z ) \ln\Gamma(z) ln Γ ( z ) 의
n n n 계 도함수들을 폴리감마 함수(Polygamma Functions)라고 하며, 많은 서적들에서는 보통
ψ n ( z ) \psi_n(z) ψ n ( z ) 으로 표기한다.
ψ n ( z ) = d n + 1 d z n + 1 ln Γ ( z ) \psi_n(z)=\dfrac{\mathrm{d}^{n+1}}{\mathrm{d}z^{n+1}}\ln\Gamma(z) ψ n ( z ) = d z n + 1 d n + 1 ln Γ ( z ) 특히
ψ ( z ) ≡ ψ 0 ( z ) = d d z ln Γ ( z ) = Γ ′ ( z ) Γ ( z ) ψ 1 ( z ) = d 2 d z 2 ln Γ ( z ) = d d z ( d d z ln Γ ( z ) ) = d d z ψ ( z ) \displaystyle \begin{aligned} \psi(z) &\equiv \psi_0(z) = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \ln\Gamma(z) = \dfrac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} \\
\psi_1(z) &= \dfrac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}z^{2}} \ln\Gamma(z) = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \biggl(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \ln\Gamma(z)\biggr) = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\psi(z)
\end{aligned} ψ ( z ) ψ 1 ( z ) ≡ ψ 0 ( z ) = d z d ln Γ ( z ) = Γ ( z ) Γ ′ ( z ) = d z 2 d 2 ln Γ ( z ) = d z d ( d z d ln Γ ( z ) ) = d z d ψ ( z ) 를 각각 다이감마 함수(Digamma function), 트라이감마 함수(Trigamma function)라고 하고, 다이감마 함수의 식으로부터 감마 함수의 도함수를 도출할 수 있다.
Γ ′ ( z ) = Γ ( z ) ψ ( z ) \Gamma'(z)=\Gamma(z)\psi(z) Γ ′ ( z ) = Γ ( z ) ψ ( z )
